La conducción del gas

Tema 2, Actividad 1

 1. El croquis muestra dos puntos, A y D, entre los que se quiere construir un canal para conducir el gas. Cómo se quiere aprovechar un trozo de un antiguo canal que unía los puntos B y D, hay que ubicar el punto C donde se unirán el tramo nuevo y el reformado. El corte de tramo nuevo AC es de 10 /m, y el de reparar cada metro de tramo antiguo CD es de 2 €.

Coste total: 10AC + 2CD

- La tabla muestra las tres opciones que se consideran para ubicar el punto C.

Opciones:

1: BC = 30m

2: BC = 50m

3: BC = 100m

- Indica cuál es la más económica.

Opción 1:

$${ AC1 }^{ 2 }\quad =\quad { 30 }^{ 2 }+{ 75 }^{ 2 }\\ AC1\quad =\quad \sqrt { 6525 } \\ AC1\quad =\quad 80,777\\ C1D\quad =\quad 250-30\quad =\quad 220$$

Coste total 1: 80,777 (x10) + 220 (x2) = 1247,77 euros

Opción 2: 

$${ AC2 }^{ 2 }\quad =\quad { 50 }^{ 2 }+{ 75 }^{ 2 }\\ AC2\quad =\quad \sqrt { 8125 } \\ AC2\quad =\quad 90,139\\ C2D\quad =\quad 250-50\quad =\quad 200$$

Coste total 2: 90, 139 (x10) + 200 (x2) = 1301,39 euros

Opción 3:

$$AC3^{ 2 }\quad =\quad 100^{ 2 }+{ 75 }^{ 2 }\\ AC3\quad =\quad \sqrt { 15625 } \\ AC3\quad =\quad 125\\ C3D\quad =\quad 250-100\quad =\quad 150$$

Coste total 3: 125 (x10) + 150 (x2) = 1500 euros

RESULTADO : LA OPCIÓN MÁS ECONÓMICA ES LA 1

- Calcula la distancia x que debería tener BC para que el coste total fuera 1270 €.

$$1270\quad =\quad 2y+10AC\quad \quad$$
$$ \quad { AC }^{ 2 }\quad =\quad { (250\quad -\quad y) }^{ 2 }+{ 75 }^{ 2 }$$

$$\\ \frac { 1270-10AC }{ 2 } \quad =\quad y\quad \Longrightarrow \quad 635-\quad 5AC\\ { AC }^{ 2 }\quad =\quad { (250-635+5AC) }^{ 2 }+{ 75 }^{ 2 }\quad \Longrightarrow \quad { AC }^{ 2 }\quad =\quad { (-385+5AC) }^{ 2 }+5625\\ { AC }^{ 2 }\quad =\quad { -385 }^{ 2\quad  }+{ 5AC }^{ 2 }+(2\times (-385)\times 5AC)+5625\quad \\ { AC }^{ 2 }\quad =\quad 148225\quad +\quad 25{ AC }^{ 2 }-3850AC+5625\\ 24{ AC }^{ 2 }-3850AC+153850\quad =\quad 0$$
$$\frac { 3850\quad \pm \sqrt { { (-3850) }^{ 2 }-4\times 24\times 153850 }  }{ 2\times 24 } \quad \Longrightarrow \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \frac { 3850+230 }{ 48 } \quad =\quad \frac { 4080 }{ 48 } \quad \Longrightarrow \quad AC1\quad =\quad 85m\\ \frac { 3850-230 }{ 48 } \quad =\quad \frac { 3620 }{ 48 } \quad \Longrightarrow \quad AC2\quad =\quad 75,417m\ $$

AC1:
$$1270\quad =\quad 2y+10\times 85\quad \Longrightarrow \quad 1270\quad =\quad 2y+850\\ \frac { 1270-850 }{ 2 } \quad =\quad y\quad \Longrightarrow \quad y1\quad =\quad 210\quad$$

AC2:
$$1270\quad =\quad 2y+10\times 75,417\quad \Longrightarrow \quad 1270\quad =\quad 2y+754,17\\ \frac { 1270-754,17 }{ 2 } \quad =\quad y\quad \Longrightarrow \quad y2\quad =\quad 257,915$$

Comprobación:
AC=85/y=210
1270 = 2x210 + 10x85
1270 = 420 + 850
1270 euros = 1270 euros

AC=75,417/y=257,915
1270 = 2x257,915 + 10x75,417
1270 = 515,83 + 754,17
1270 = 754,17

RESULTADO: PODRÍA MEDIR 85 METROS O 75,417 METROS